# Zadanie 12, matura rozszerzona maj 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj)
- Dział: Równania
- Rodzaj: otwarte, 6 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj/zadanie-12

## Treść

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

$x^2 - (3m + 1) \cdot x + 2m^2 + m + 1 = 0$

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1, x_2$ spełniające warunek

$x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \leq 3m - 7$

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$m \in (-\infty, -3)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Trójmian kwadratowy $x^2 - (3m+1)x + 2m^2+m+1$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest dodatni. Obliczamy wyróżnik:

   $$\Delta = \left[-(3m+1)\right]^2 - 4\cdot 1 \cdot (2m^2+m+1) = m^2 + 2m - 3$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium