# Zadanie 11, matura rozszerzona maj 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj/zadanie-11

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ środek $S$ okręgu o promieniu $\sqrt{5}$ leży na prostej o równaniu $y = x + 1$. Przez punkt $A = (1, 2)$, którego odległość od punktu $S$ jest większa od $\sqrt{5}$, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $B$ i $C$. Pole czworokąta $ABSC$ jest równe $15$.

Oblicz współrzędne punktu $\boldsymbol{S}$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$S = (6, 7)$ lub $S = (-4, -3)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Promienie $SB$ oraz $SC$ okręgu poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do stycznych $AB$ i $AC$, więc trójkąty $ABS$ oraz $ACS$ są prostokątne. Odcinki $AB$ i $AC$ jako odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu $A$ mają równe długości, więc oba trójkąty są przystające (cecha bbb). Oznaczmy $m = |AB| = |AC|$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj/zadanie-11)*

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium