# Zadanie 10, matura rozszerzona maj 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj/zadanie-10

## Treść

Rozwiąż równanie

$\sin(4x) - \sin(2x) = 4\cos^2 x - 3$

w zbiorze $[0, 2\pi]$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$x \in \left\{\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{11\pi}{6}\right\}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Stosujemy wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta: $\sin(4x) = \sin(2 \cdot 2x) = 2\sin(2x)\cos(2x)$ oraz $4\cos^2 x - 3 = 2\left(2\cos^2 x - 1\right) - 1 = 2\cos(2x) - 1$. Podstawiamy do równania:

   $$\begin{aligned}&\sin(4x) - \sin(2x) = 4\cos^2 x - 3 \\[8pt] &2\sin(2x)\cos(2x) - \sin(2x) = 2\cos(2x) - 1\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium