# Zadanie 9, matura rozszerzona maj 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj/zadanie-09

## Treść

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $E$ jest środkiem boku $CD$. Przekątna $BD$ dzieli trójkąt $ACE$ na dwie figury: $AGF$ oraz $CEFG$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj/zadanie-09)*

Oblicz pola figur $AGF$ oraz $CEFG$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$P_{AGF} = \dfrac{1}{12}a^2$, $P_{CEFG} = \dfrac{1}{6}a^2$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Punkt $F$ to punkt przecięcia odcinków $AE$ i $DG$. Odcinek $AE$ łączy wierzchołek $A$ ze środkiem $E$ boku $CD$, a odcinek $DG$ łączy wierzchołek $D$ ze środkiem $G$ przekątnej $AC$ (bo $G$, jako środek kwadratu, jest środkiem obu przekątnych). Oba odcinki są więc środkowymi trójkąta $ACD$, a ich punkt przecięcia $F$ jest środkiem ciężkości tego trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka, więc:

   $$\begin{aligned}&|DF| : |FG| = 2 : 1 \\[8pt] &|FG| = \dfrac{1}{3}|DG|\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium