# Zadanie 8, matura rozszerzona maj 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj/zadanie-08

## Treść

Dany jest trójkąt $ABC$, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta $ABC$ jest dwa razy większa od miary kąta $BAC$.

Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

$|AC|^2 = |BC|^2 + |AB| \cdot |BC|$

## Odpowiedź

$|AC|^2 = |BC|^2 + |AB|\cdot|BC|$ — wykazane przez podobieństwo trójkątów $DBC$ i $BAC$, gdzie $D$ to punkt przecięcia dwusiecznej kąta $ABC$ z bokiem $AC$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oznaczmy miarę kąta $BAC$ jako $\alpha$ — wtedy miara kąta $ABC$ jest równa $2\alpha$. Przyjmujemy standardowe oznaczenia boków: $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$. Poprowadźmy dwusieczną kąta $ABC$; niech przecina ona bok $AC$ w punkcie $D$. Ponieważ dwusieczna dzieli kąt $2\alpha$ na połowy, mamy:

   $$|\angle ABD| = |\angle DBC| = \alpha$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium