# Zadanie 2, matura rozszerzona maj 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj)
- Dział: Granice
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj/zadanie-02

## Treść

Oblicz granicę

$\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\dfrac{x^3-8}{(x-2)^2}$

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$-\infty$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Rozkładamy licznik na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$, i skracamy przez $(x-2)$ dla $x\neq2$:

   $$\dfrac{x^3-8}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)^2}=\dfrac{x^2+2x+4}{x-2}$$

2. Obliczamy granice licznika i mianownika osobno. Licznik dąży do $12$, a mianownik dąży do $0$ „od strony ujemnej" (bo $x\to2^-$ oznacza $x<2$, więc $x-2<0$):

   $$\displaystyle\lim_{x\to2^-}(x^2+2x+4)=12, \quad \displaystyle\lim_{x\to2^-}(x-2)=0^-$$

3. Iloraz liczby dodatniej przez wyrażenie dążące do zera od strony ujemnej dąży do $-\infty$, więc:

   $$\displaystyle\lim_{x\to2^-}\dfrac{x^3-8}{(x-2)^2}=-\infty$$