# Zadanie 13.2, matura rozszerzona grudzień 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien/zadanie-13-2

## Treść

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{12x-84}{x-8}$ dla każdego $x\in(-\infty,8)$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie czworokąty $OBCD$, w których:

• wierzchołek $O$ ma współrzędne $(0,0)$
• wierzchołki $B$ oraz $D$ są punktami przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią - odpowiednio - $Ox$ i $Oy$
• wierzchołek $C$ ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji $f$

(zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien/zadanie-13-2)*

Pole $P$ czworokąta $OBCD$ w zależności od pierwszej współrzędnej $x$ punktu $C$ jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{21}{4}\cdot\dfrac{x^2-56}{x-8}$

dla $x\in(0,7)$.

Oblicz współrzędne wierzchołka $C$, dla których pole czworokąta $OBCD$ jest największe. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$C=\left(8-2\sqrt2,\ 12-3\sqrt2\right)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyznaczamy pochodną funkcji $P$, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu:

   $$P'(x) = \dfrac{21}{4}\cdot\dfrac{2x(x-8)-(x^2-56)\cdot1}{(x-8)^2} = \dfrac{21}{4}\cdot\dfrac{x^2-16x+56}{(x-8)^2}, \quad x\in(0,7)$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium