# Zadanie 13.1, matura rozszerzona grudzień 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien)
- Dział: Funkcje
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien/zadanie-13-1

## Treść

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{12x-84}{x-8}$ dla każdego $x\in(-\infty,8)$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie czworokąty $OBCD$, w których:

• wierzchołek $O$ ma współrzędne $(0,0)$
• wierzchołki $B$ oraz $D$ są punktami przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią - odpowiednio - $Ox$ i $Oy$
• wierzchołek $C$ ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji $f$

(zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien/zadanie-13-1)*

Wykaż, że pole $P$ czworokąta $OBCD$ w zależności od pierwszej współrzędnej $x$ punktu $C$ jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{21}{4}\cdot\dfrac{x^2-56}{x-8}$

## Odpowiedź

$P(x) = \dfrac{21}{4}\cdot\dfrac{x^2-56}{x-8}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyznaczamy współrzędne punktu $B$ (przecięcie wykresu z osią $Ox$), rozwiązując równanie $f(x)=0$:

   $$\begin{aligned}&\dfrac{12x-84}{x-8}=0 \\[8pt] &12x-84=0 \\[8pt] &x=7\in(-\infty,8)\end{aligned}$$

2. Zatem $B=(7,0)$. Wyznaczamy współrzędne punktu $D$ (przecięcie wykresu z osią $Oy$), obliczając $f(0)$:

   $$f(0) = \dfrac{12\cdot0-84}{0-8} = \dfrac{21}{2} \implies D=\left(0,\dfrac{21}{2}\right)$$

3. Punkt $C$ leży na wykresie funkcji $f$ i ma obie współrzędne dodatnie, więc $C=\left(x,\dfrac{12x-84}{x-8}\right)$, gdzie $0<x<7$.

4. Przekątna $OC$ dzieli czworokąt $OBCD$ na trójkąty $OCD$ i $OBC$:

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien/zadanie-13-1)*

więc pole $P$ jest sumą pól tych trójkątów:

   $$P = P_{OCD}+P_{OBC} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{21}{2}\cdot x + \dfrac{1}{2}\cdot7\cdot\dfrac{12x-84}{x-8}$$

5. Sprowadzamy do wspólnego mianownika i upraszczamy:

   $$P = \dfrac{21}{4}\cdot\dfrac{x^2-8x+8x-56}{x-8} = \dfrac{21}{4}\cdot\dfrac{x^2-56}{x-8}, \quad x\in(0,7)$$