# Zadanie 10, matura rozszerzona grudzień 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien/zadanie-10

## Treść

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, spełniają warunek $a_3+a_5=10$.

Trzywyrazowy ciąg $\left(2a_1+4,\ a_4-1,\ -\dfrac{1}{8}a_7\right)$ jest geometryczny.

Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$32,\ 4,\ \dfrac{1}{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Niech $r$ oznacza różnicę ciągu $(a_n)$. Zapisujemy $a_3$ i $a_5$ za pomocą $a_1$ i $r$, korzystając z warunku $a_3+a_5=10$:

   $$a_1+2r+a_1+4r=10 \implies a_1 = 5-3r$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium