# Zadanie 8, matura rozszerzona grudzień 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien)
- Dział: Granice
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien/zadanie-08

## Treść

Oblicz granicę

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1+3+5+7+\ldots+(2n+1)}{\binom{n}{2}}$

gdzie $1+3+5+7+\ldots+(2n+1)$ jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$2$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyrazy sumy $1+3+5+7+\ldots+(2n+1)$ tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a_1=1$ i różnicy $r=2$. Wyznaczamy liczbę wyrazów $k$ tej sumy z wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

   $$\begin{aligned}&a_k = a_1+(k-1)r \\[8pt] &2n+1 = 1+(k-1)\cdot 2 \\[8pt] &k = n+1\end{aligned}$$

2. Suma składa się więc z $(n+1)$ wyrazów. Stosujemy wzór na sumę $(n+1)$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

   $$1+3+5+\ldots+(2n+1) = \dfrac{1+(2n+1)}{2}\cdot(n+1) = (n+1)^2$$

3. Zapisujemy symbol Newtona $\binom{n}{2}$ w postaci ułamka:

   $$\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$$

4. Obliczamy granicę, dzieląc licznik i mianownik przez $n^2$:

   $$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{(n+1)^2}{\frac{n(n-1)}{2}} = \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2n^2+4n+2}{n^2-n} = \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}}{1-\frac{1}{n}} = 2$$