# Zadanie 6, matura rozszerzona grudzień 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien)
- Dział: Wartość bezwzględna
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien/zadanie-06

## Treść

Rozwiąż równanie

$|4x - 8| + |x - 2| = |2 - x| + |x + 2| + 4$

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$x = \dfrac{2}{5}$ lub $x = \dfrac{14}{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ponieważ $|4x - 8| = 4 \cdot |x - 2|$ oraz $|2 - x| = |x - 2|$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$, dane równanie można przekształcić równoważnie do postaci:

   $$4 \cdot |x - 2| = |x + 2| + 4$$

2. Rozważamy trzy przedziały: $(-\infty, -2)$, $[-2, 2)$, $[2, +\infty)$.

3. Dla $x \in (-\infty, -2)$ równanie przyjmuje postać:

   $$\begin{aligned}&-4x + 8 = -x - 2 + 4 \\[8pt] &-3x = -6 \\[8pt] &x = 2\end{aligned}$$

4. Ponieważ $2 \notin (-\infty, -2)$, ten przypadek nie daje rozwiązania.

5. Dla $x \in [-2, 2)$ równanie przyjmuje postać:

   $$\begin{aligned}&-4x + 8 = x + 2 + 4 \\[8pt] &-5x = -2 \\[8pt] &x = \dfrac{2}{5}\end{aligned}$$

6. Ponieważ $\dfrac{2}{5} \in [-2, 2)$, liczba $\dfrac{2}{5}$ jest rozwiązaniem.

7. Dla $x \in [2, +\infty)$ równanie przyjmuje postać:

   $$\begin{aligned}&4x - 8 = x + 2 + 4 \\[8pt] &3x = 14 \\[8pt] &x = \dfrac{14}{3}\end{aligned}$$

8. Ponieważ $\dfrac{14}{3} \in [2, +\infty)$, liczba $\dfrac{14}{3}$ jest rozwiązaniem.

9. Ostatecznie rozwiązaniami danego równania są liczby $\dfrac{2}{5}$ oraz $\dfrac{14}{3}$.