# Zadanie 5, matura rozszerzona grudzień 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien)
- Dział: Prawdopodobieństwo
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien/zadanie-05

## Treść

W pewnej lokalnej społeczności $35\%$ osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada $70\%$ osób mających wyższe wykształcenie i $40\%$ osób bez wyższego wykształcenia.
Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$P(B_1|A) \approx 0{,}49$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Niech $A$ oznacza zdarzenie, że losowo wybrana osoba dobrze włada językiem niemieckim, $B_1$ – że ma wyższe wykształcenie, a $B_2$ – że nie ma wyższego wykształcenia. Z treści zadania:

   $$P(B_1) = 0{,}35, \quad P(B_2) = 0{,}65$$

2. Prawdopodobieństwa warunkowe władania językiem niemieckim wynoszą:

   $$P(A|B_1) = 0{,}7, \quad P(A|B_2) = 0{,}4$$

3. Szukane prawdopodobieństwo obliczamy z twierdzenia Bayesa:

   $$P(B_1|A) = \dfrac{P(B_1) \cdot P(A|B_1)}{P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2)}$$

4. Podstawiamy dane i obliczamy:

   $$P(B_1|A) = \dfrac{0{,}35 \cdot 0{,}7}{0{,}7 \cdot 0{,}35 + 0{,}4 \cdot 0{,}65} = 0{,}(4851) \approx 0{,}49$$