# Zadanie 4, matura rozszerzona grudzień 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien)
- Dział: Logarytmy
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien/zadanie-04

## Treść

Wykaż, że

$\dfrac{1}{\log_2 35 + 1} + \dfrac{1}{\log_7 140 - \log_7 2} + \dfrac{1}{\log_5 7 + \log_5 2 + 1} = 1$

## Odpowiedź

$\dfrac{1}{\log_2 35 + 1} + \dfrac{1}{\log_7 140 - \log_7 2} + \dfrac{1}{\log_5 7 + \log_5 2 + 1} = 1$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy $1 = \log_2 2$ w pierwszym mianowniku oraz $1 = \log_5 5$ w trzecim, a następnie korzystamy ze wzoru na sumę i różnicę logarytmów:

   $$\begin{aligned} &\log_2 35 + 1 = \log_2 35 + \log_2 2 = \log_2 70 \\[8pt] &\log_7 140 - \log_7 2 = \log_7 70 \\[8pt] &\log_5 7 + \log_5 2 + 1 = \log_5 7 + \log_5 2 + \log_5 5 = \log_5 70 \end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium