# Zadanie 3, matura rozszerzona grudzień 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien/zadanie-03

## Treść

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy $12\sqrt{3}$.
Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe $12\pi(\sqrt{3} + 1)$.

Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$V = 18\pi\sqrt{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Niech $r$ oznacza promień podstawy walca, a $h$ – wysokość walca. Z treści zadania zapisujemy dwa równania:

   $$2r \cdot h = 12\sqrt{3} \\[10pt] 2\pi r^2 + 2\pi r h = 12\pi(\sqrt{3} + 1)$$

2. Z pierwszego równania wyznaczamy $h$ i podstawiamy do drugiego:

   $$h = \dfrac{6\sqrt{3}}{r} \\[10pt] 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{6\sqrt{3}}{r} = 12\pi(\sqrt{3} + 1)$$

3. Upraszczamy i wyznaczamy $r^2$:

   $$2\pi r^2 + 12\sqrt{3}\pi = 12\pi(\sqrt{3} + 1) \implies r^2 = 6$$

4. Stąd:

   $$r = \sqrt{6}, \quad h = \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{2}$$

5. Obliczamy objętość $V$ walca:

   $$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\pi\sqrt{2}$$