# Zadanie 1, matura rozszerzona grudzień 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien)
- Dział: Funkcje
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/grudzien/zadanie-01

## Treść

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością

$Q(t) = Q_0 \cdot \beta^{-t}$ dla $t \geq 0$

gdzie:
$Q_0$ – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej ($t = 0$) wyrażony w milikulombach,
$Q$ – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili $t$ (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach,
$\beta$ – stała dodatnia,
$t$ – czas wyrażony w sekundach.

Wiadomo, że w chwili $t = 4$ s w kondensatorze był zgromadzony ładunek $2$ milikulombów, a w chwili $t = 6$ s – ładunek $18$ milikulombów.

Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili $t = 5$ s. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$Q(5) = 6$ (milikulombów)

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Z warunków $Q(4) = 2$ oraz $Q(6) = 18$ zapisujemy dwa równania:

   $$2 = Q_0 \cdot \beta^{-4} \\ 18 = Q_0 \cdot \beta^{-6}$$

2. Dzielimy te równania stronami, aby wyeliminować $Q_0$, i wyznaczamy $\beta$ (jako stałą dodatnią):

   $$\begin{aligned}&\dfrac{2}{18} = \dfrac{Q_0 \cdot \beta^{-4}}{Q_0 \cdot \beta^{-6}} = \beta^2 \\[8pt] &\dfrac{1}{9} = \beta^2 \\[8pt] &\beta = \dfrac{1}{3}\end{aligned}$$

3. Podstawiamy $\beta = \tfrac{1}{3}$ do pierwszego równania i wyznaczamy $Q_0$:

   $$2 = Q_0 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-4} \implies Q_0 = \dfrac{2}{81}$$

4. Obliczamy $Q(5)$:

   $$Q(5) = \dfrac{2}{81} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-5} = \dfrac{2}{81} \cdot 3^5 = 6$$

5. W chwili $t = 5$ s w kondensatorze był zgromadzony ładunek $6$ milikulombów.