# Zadanie 13.1, matura rozszerzona czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec/zadanie-13-1

## Treść

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości $H$ ostrosłupa oraz promienia $R$ okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa $6$.

Wykaż, że objętość $V$ każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości $R$ promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

$V(R) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot(6R^2-R^3)$

## Odpowiedź

$V(R) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot(6R^2-R^3)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przyjmujemy oznaczenia: $A,B,C$ - wierzchołki podstawy ostrosłupa, $a$ - długość krawędzi podstawy, $R$ - promień okręgu opisanego na podstawie, $H$ - wysokość ostrosłupa. Podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym, więc promień okręgu opisanego na niej wynosi $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, skąd $a=R\sqrt{3}$.

2. Obliczamy pole $P_p$ podstawy ostrosłupa:

   $$P_p = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3R^2\sqrt{3}}{4}$$

3. Ponieważ $H+R=6$, mamy $H=6-R$. Obliczamy objętość $V$ ostrosłupa:

   $$V = \dfrac{1}{3}\cdot P_p\cdot H = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3R^2\sqrt{3}}{4}\cdot(6-R) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot(6R^2-R^3)$$