# Zadanie 12, matura rozszerzona czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec)
- Dział: Równania
- Rodzaj: otwarte, 6 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec/zadanie-12

## Treść

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

$(3-m)\cdot x^2+(m+1)\cdot x-(m+1)^2=0$

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1, x_2$ spełniające warunek

$x_1^2+x_2^2=x_1\cdot x_2+7$

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$m\in\left\{1,\ \dfrac{-3-2\sqrt{42}}{3}\right\}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Równanie kwadratowe (dla $m\neq3$) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta>0$. Obliczamy wyróżnik:

   $$\Delta = (m+1)^2-4\cdot(3-m)\cdot\left(-(m+1)^2\right) = (m+1)^2\left[1+4(3-m)\right] = (m+1)^2(13-4m)$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium