# Zadanie 11, matura rozszerzona czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: otwarte, 6 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec/zadanie-11

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $3x+y+2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=x^2-2x-8$ w punktach $A$ oraz $B$, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wierzchołek $A$ ma pierwszą współrzędną ujemną.

Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y=-\dfrac{1}{2}x+1$ i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu $C$ od prostej zawierającej bok $AB$ równoległoboku jest równa $\dfrac{9\sqrt{10}}{5}$.

Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$|BC| = 2\sqrt{13}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Podstawiamy $y=x^2-2x-8$ do równania prostej $3x+y+2=0$, rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe i obliczamy odpowiadające współrzędne $y$ z równania prostej $y=-3x-2$:

   $$\begin{aligned}&3x+(x^2-2x-8)+2=0 \\[8pt] &x^2+x-6=0 \\[8pt] &x=-3 \ \lor\ x=2 \\[8pt] &y(-3)=-3\cdot(-3)-2=7, \qquad y(2)=-3\cdot2-2=-8\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium