# Zadanie 10, matura rozszerzona czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec/zadanie-10

## Treść

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $a$. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy $\dfrac{\sqrt{11}}{6}$.

Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$P = \dfrac{\sqrt{3}a^2}{2} + 3\sqrt{2}a^2$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku: $ABC$ i $DEF$ - podstawy graniastosłupa, $a$ - długość krawędzi podstawy, $H$ - wysokość graniastosłupa, $\alpha$ - kąt między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z wierzchołka $F$. Po rozłożeniu dwóch sąsiednich ścian bocznych w jedną płaszczyznę powstaje trójkąt $ABF$, w którym $|AF|=|BF|=\sqrt{H^2+a^2}$ (przekątne ścian bocznych) oraz $|AB|=a$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec/zadanie-10)*

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium