# Zadanie 9, matura rozszerzona czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec/zadanie-09

## Treść

Rozwiąż równanie

$\sin(6x) + \sqrt{3} \cdot \sin(5x) + \sin(4x) = 0$

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$x = \dfrac{k\pi}{5} \ \lor \ x = -\dfrac{5}{6}\pi + 2\pi k \ \lor \ x = \dfrac{5}{6}\pi + 2\pi k$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy $\sin(6x)$ i $\sin(4x)$ jako $\sin(5x+x)$ i $\sin(5x-x)$, a następnie stosujemy wzory na sinus sumy i różnicy kątów:

   $$\begin{aligned}&\sin(5x+x) + \sqrt{3}\cdot\sin(5x) + \sin(5x-x) = 0 \\[8pt] &\sin(5x)\cos x + \cos(5x)\sin x + \sqrt{3}\cdot\sin(5x) + \sin(5x)\cos x - \cos(5x)\sin x = 0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium