# Zadanie 7, matura rozszerzona czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec/zadanie-07

## Treść

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ o numerach nieparzystych jest równa $16$, tj.

$a_1 + a_3 + a_5 + \ldots = 16$

Ponadto $a_1 + a_3 = \dfrac{5}{2} \cdot a_2$.

Wyznacz wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$a_n = 12 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Niech $q$ oznacza iloraz ciągu geometrycznego $(a_n)$. Wtedy $a_2=a_1q$ oraz $a_3=a_1q^2$. Podstawiając do warunku $a_1+a_3=\dfrac{5}{2}a_2$, otrzymujemy równanie z niewiadomymi $a_1$ i $q$:

   $$a_1 + a_1q^2 = \dfrac{5}{2}a_1q$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium