# Zadanie 5, matura rozszerzona czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec/zadanie-05

## Treść

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $\boldsymbol{a}$ i każdej liczby dodatniej $\boldsymbol{b}$ takich, że $\boldsymbol{a+b=1}$, prawdziwa jest nierówność

$\dfrac{1}{2a+b} + \dfrac{1}{a+2b} \geq \dfrac{4}{3}$

## Odpowiedź

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc $(2a-1)^2 \geq 0$ dla każdego $a$, co jest równoważne dowodzonej nierówności.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ponieważ $a > 0$ i $b > 0$, więc mianowniki $2a+b$ oraz $a+2b$ są dodatnie, a ich iloczyn też jest dodatni. Przekształcamy nierówność równoważnie, sprowadzając lewą stronę do wspólnego mianownika.

   $$\begin{aligned}&\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{a+2b} \geq \dfrac{4}{3} \\[8pt] &\dfrac{3(a+2b)}{3(2a+b)(a+2b)} + \dfrac{3(2a+b)}{3(2a+b)(a+2b)} - \dfrac{4(a+2b)(2a+b)}{3(2a+b)(a+2b)} \geq 0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium