# Zadanie 2, matura rozszerzona czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec)
- Dział: Granice
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec/zadanie-02

## Treść

Oblicz granicę

$\displaystyle\lim_{x \to 3^-} \dfrac{|x-3|}{x^2-9}$

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$-\dfrac{1}{6}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Dla $x$ bliskich $3$ z lewej strony ($x < 3$) mamy $x - 3 < 0$, więc $|x-3| = -(x-3)$. Rozkładamy mianownik na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.

   $$\dfrac{|x-3|}{x^2-9} = \dfrac{-(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{-1}{x+3} \quad \text{dla } x \in (-3, 3)$$

2. Obliczamy granice licznika i mianownika otrzymanego wyrażenia.

   $$\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{x \to 3^-}(x+3) = 6 \\[8pt] &\displaystyle\lim_{x \to 3^-}(-1) = -1\end{aligned}$$

3. Zatem szukana granica jest równa:

   $$\displaystyle\lim_{x \to 3^-} \dfrac{|x-3|}{x^2-9} = -\dfrac{1}{6}$$