# Zadanie 1, matura rozszerzona czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec)
- Dział: Funkcje
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec/zadanie-01

## Treść

W chwili początkowej ($t = 0$) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A.

W wyniku tej reakcji masa $m$ związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością

$m(t) = a \cdot 2^{-0{,}05 \cdot t} + b \quad \text{dla} \quad t \geq 0$

gdzie:

$m$ – masa związku A wyrażona w gramach,

$t$ – czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili $t = 0$),

$a, b$ – współczynniki liczbowe.

Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili $t = 0$) była równa $m_0$ gramów.

Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy $t \to \infty$) masa tego związku była równa $\dfrac{1}{9}$ jego masy początkowej (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/czerwiec/zadanie-01)*

Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało $\mathbf{87{,}5\%}$ masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$t = 120$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Masa w stanie równowagi to granica funkcji $m(t)$ przy $t \to \infty$. Ponieważ $2^{-0{,}05 \cdot t} \to 0$, granica ta jest równa współczynnikowi $b$. Z treści zadania wiemy, że jest ona równa $\dfrac{1}{9}m_0$.

   $$\displaystyle\lim_{t \to \infty} m(t) = \lim_{t \to \infty}\left(a \cdot 2^{-0{,}05 \cdot t} + b\right) = b = \dfrac{1}{9}m_0$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium