# Zadanie 13, matura rozszerzona maj 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: otwarte, 6 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj/zadanie-13

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta $l$ o równaniu $x-y-2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=4x^2-7x+1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$. Punkt $C$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ nad prostą $l$, a kąt $BAC$ jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $\text{tg }\alpha=\dfrac{1}{3}$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj/zadanie-13)*

Oblicz współrzędne punktu $C$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$C = \left(\dfrac{11}{10}, -\dfrac{3}{10}\right)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Punkty $A$ i $B$ leżą na prostej i na paraboli. Z równania prostej $l$ mamy $y=x-2$, więc wstawiamy to do równania paraboli.

   $$\begin{aligned}&x-2=4x^2-7x+1\\[8pt]&-4x^2+8x-3=0 \;\;/\cdot(-1)\\[8pt]&4x^2-8x+3=0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium