# Zadanie 12.1, matura rozszerzona maj 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj)
- Dział: Logarytmy
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj/zadanie-12-1

## Treść

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = 81^{\log_3 x} + \dfrac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\cdot x^2 - 6x$ dla każdej liczby dodatniej $x$.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ wyrażenie

$81^{\log_3 x} + \dfrac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\cdot x^2 - 6x$

można równoważnie przekształcić do postaci $x^4+x^2-6x$.

## Odpowiedź

$81^{\log_3 x} + \dfrac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\cdot x^2 - 6x = x^4+x^2-6x$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy $81$ jako $3^4$ i zamieniamy kolejność potęgowania.

   $$81^{\log_3 x} = \left(3^4\right)^{\log_3 x} = \left(3^{\log_3 x}\right)^4 = x^4$$

2. Zapisujemy $\sqrt{27}$ jako potęgę liczby $3$ i wykładnik wyciągamy przed logarytm.

   $$\log_2\sqrt{27} = \log_2 3^{\frac{3}{2}} = \dfrac{3}{2}\log_2 3$$

3. Wstawiamy to do współczynnika przy $x^2$ i skracamy.

   $$\dfrac{2\cdot\frac{3}{2}\log_2 3\cdot\log_3 2}{3} = \log_2 3\cdot\log_3 2$$

4. Zamieniamy podstawę logarytmu $\log_2 3$ na $3$.

   $$\begin{aligned}&\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \\[8pt]&\log_2 3 = \dfrac{\log_3 3}{\log_3 2} = \dfrac{1}{\log_3 2} \\[8pt]&\log_2 3\cdot\log_3 2 = \dfrac{1}{\log_3 2}\cdot\log_3 2 = 1\end{aligned}$$

5. Wstawiamy oba wyniki do wyrażenia.

   $$81^{\log_3 x} + \dfrac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\cdot x^2 - 6x = x^4 + 1\cdot x^2 - 6x = x^4+x^2-6x$$