# Zadanie 11, matura rozszerzona maj 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj)
- Dział: Równania
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj/zadanie-11

## Treść

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m \neq 2$, dla których równanie

$x^2+4x-\dfrac{m-3}{m-2}=0$

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1, x_2$ spełniające warunek $x_1^3+x_2^3>-28$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$m \in \left(\dfrac{11}{5}, \dfrac{9}{4}\right)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, gdy $\Delta>0$. Iloraz na końcu ma ten sam znak co iloczyn licznika i mianownika.

   $$\begin{aligned}&\Delta = b^2-4ac \\[8pt]&4^2-4\cdot1\cdot\left(-\dfrac{m-3}{m-2}\right)>0\\[8pt]&16+\dfrac{4(m-3)}{m-2}>0\\[8pt]&\dfrac{16(m-2)+4(m-3)}{m-2}>0\\[8pt]&\dfrac{16m-32+4m-12}{m-2}>0\\[8pt]&\dfrac{20m-44}{m-2}>0\\[8pt]&(20m-44)(m-2)>0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium