# Zadanie 10, matura rozszerzona maj 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj/zadanie-10

## Treść

Określamy kwadraty $K_1, K_2, K_3, \ldots$ następująco:
• $K_1$ jest kwadratem o boku długości $a$
• $K_2$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_1$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$
• $K_3$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_2$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$,
• $K_n$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj/zadanie-10)*

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$L = \dfrac{8(4+\sqrt{10})a}{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wprowadzamy oznaczenia:<ul><li>$a_n$ - długość boku kwadratu $K_n$, więc $a_1=a$</li><li>$L_n$ - obwód kwadratu $K_n$</li></ul>Wierzchołki kwadratu $K_2$ dzielą boki $K_1$ w stosunku $1:3$, więc w każdym rogu $K_1$ powstaje trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna jest bokiem $K_2$. Liczymy ją z twierdzenia Pitagorasa.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj/zadanie-10)*

   $$a_2 = \sqrt{\left(\dfrac{a}{4}\right)^2+\left(\dfrac{3a}{4}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2+9a^2}{16}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}a$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium