# Zadanie 5, matura rozszerzona maj 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj/zadanie-05

## Treść

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ABC| = 90°$ oraz $|\angle CAB| = 60°$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach – odpowiednio – $AB$ i $BC$ tak, że $|BK| = |BL| = 1$ (zobacz rysunek). Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|AD| = 2$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj/zadanie-05)*

Wykaż, że $|ND| = \sqrt{3}+1$.

## Odpowiedź

$|ND| = \sqrt{3}+1$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wysokość $BD$ jest prostopadła do $AC$, więc trójkąt $ABD$ jest prostokątny, a kąt $ABD$ ma miarę $30°$. Długość $BD$ liczymy z tangensa kąta $60°$.

   $$\begin{aligned}&\tan 60° = \sqrt{3} \\[8pt] &|BD| = |AD|\cdot\tan 60° = 2\sqrt{3}\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium