# Zadanie 4, matura rozszerzona maj 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj/zadanie-04

## Treść

Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x+y=4$ i nierówność $x^3-x^2y \leq xy^2-y^3$.

Wykaż, że $x = 2$ oraz $y = 2$.

## Odpowiedź

Nierówność sprowadza się do $(x+y)(x-y)^2\leq0$, co po podstawieniu $x+y=4$ daje $(x-y)^2\leq0$, więc $x=y$, a stąd $x=y=2$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przenosimy wszystkie wyrazy nierówności na jedną stronę.

   $$\begin{aligned}&x^3-x^2y \leq xy^2-y^3\\[8pt]&x^3-x^2y-xy^2+y^3 \leq 0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium