# Zadanie 3, matura rozszerzona maj 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj/zadanie-03

## Treść

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Punkt $P = (x_0, 3)$ należy do wykresu funkcji $f$.

Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$x_0 = -3$; $y = -\dfrac{8}{11}x+\dfrac{9}{11}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Punkt $P$ leży na wykresie funkcji $f$, więc $f(x_0)=3$. Mnożymy obie strony przez mianownik i wyznaczamy $x_0$.

   $$\begin{aligned}&3 = \dfrac{3x_0^2-2x_0}{x_0^2+2x_0+8} \;\;/\cdot(x_0^2+2x_0+8)\\[8pt]&3x_0^2+6x_0+24 = 3x_0^2-2x_0\\[8pt]&8x_0=-24\\[8pt]&x_0=-3\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium