# Zadanie 1, matura rozszerzona maj 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/maj/zadanie-01

## Treść

W chwili początkowej ($t = 0$) masa substancji jest równa $4$ gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa $19\%$ masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t \geq 0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji $m(t)$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1{,}5$ grama. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$m(t) = 4 \cdot 0{,}81^{t}$; po $5$ dobach

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Po każdej dobie ubywa $19\%$ masy, więc zostaje $81\%$ masy z poprzedniej doby. Kolejne masy $m(0), m(1), m(2), \ldots$ tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $4$ i ilorazie $0{,}81$.

   $$m(t) = 4 \cdot 0{,}81^{t}$$

2. Masa maleje z każdą dobą, więc szukamy pierwszego $t$, dla którego spadnie poniżej $1{,}5$ grama.

   $$\begin{aligned}&m(4) = 4\cdot 0{,}81^{4} \approx 1{,}72 > 1{,}5\\[8pt]&m(5) = 4\cdot 0{,}81^{5} \approx 1{,}39 < 1{,}5\end{aligned}$$

3. Masa substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1{,}5$ grama po pięciu dobach.