# Zadanie 13, matura rozszerzona czerwiec 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 6 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec/zadanie-13

## Treść

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne $ABCDEFGH$, w których odcinek łączący punkt $O$ przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ podstawy $ABCD$ z dowolnym wierzchołkiem podstawy $EFGH$ ma długość $d$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec/zadanie-13)*

a) Wyznacz zależność objętości $V$ graniastosłupa od jego wysokości $h$ i podaj dziedzinę funkcji $V(h)$.
b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

a) $V(h) = 2(d^2h - h^3)$ dla $h \in (0, d)$; b) $h = \dfrac{d}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}d$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oznaczmy przez $a$ długość krawędzi podstawy graniastosłupa, a przez $h$ jego wysokość. Podstawa $ABCD$ jest kwadratem, więc jej przekątna $BD$ ma długość $a\sqrt2$, a punkt $O$ (przecięcie przekątnych) dzieli ją na połowy:

   $$|OD| = \dfrac{|BD|}{2} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium