# Zadanie 12, matura rozszerzona czerwiec 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec/zadanie-12

## Treść

Czworokąt wypukły $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $4$. Kąty $BAD$ i $BCD$ są proste (zobacz rysunek). Przekątne $AC$ i $BD$ tego czworokąta przecinają się w punkcie $E$ tak, że $|BE| = 3 \cdot |DE|$ oraz $|BD| = 2 \cdot |AE|$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec/zadanie-12)*

Oblicz długości boków czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$|AB|=2\sqrt{10}, \ |BC|=3\sqrt{6}, \ |CD|=\sqrt{10}, \ |AD|=2\sqrt{6}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Kąty $BAD$ i $BCD$ są proste, więc trójkąty $ABD$ i $CBD$ są prostokątne, a ich wspólna przeciwprostokątna $BD$ jest średnicą okręgu opisanego na czworokącie $ABCD$ (kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty). Promień okręgu wynosi $4$, więc:

   $$|BD| = 2\cdot4 = 8$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium