# Zadanie 10, matura rozszerzona czerwiec 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec)
- Dział: Równania
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec/zadanie-10

## Treść

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

$mx^2 - (m+1)x - 2m + 3 = 0$

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunki:

$x_1 \neq 0, \quad x_2 \neq 0 \quad \text{oraz} \quad \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} < 1$

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$m \in \left(-4-2\sqrt{6},\, 0\right) \cup \left(0,\, \dfrac{1}{9}\right)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Równanie kwadratowe ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy $m \neq 0$ oraz wyróżnik $\Delta$ jest dodatni. Obliczamy $\Delta$:

   $$\Delta = [-(m+1)]^2 - 4m(-2m+3) = 9m^2 - 10m + 1$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium