# Zadanie 6, matura rozszerzona czerwiec 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec/zadanie-06

## Treść

Dany jest okrąg $\mathcal{O}$. Przez punkt $A$ poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $P$ oraz $Q$. Przez punkt $B$ leżący na odcinku $AP$ poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie $D$, która przecięła odcinek $AQ$ w punkcie $C$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec/zadanie-06)*

Wykaż, że jeżeli $|AQ| = 5 \cdot |BP|$ oraz $|CD| = 2 \cdot |BD|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

## Odpowiedź

$|AC| = |BC| = 3x$, gdzie $x = |BP|$, więc trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Niech $|BP| = x$. Z twierdzenia o odcinkach stycznych (odcinki styczne do okręgu poprowadzone z jednego punktu mają równą długość) wynika, że:

   $$|BD| = |BP| = x$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium