# Zadanie 5, matura rozszerzona czerwiec 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec/zadanie-05

## Treść

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $a$ prawdziwa jest nierówność

$a^2 + \dfrac{16}{a} \geq 12$

## Odpowiedź

Nierówność $a^2+\dfrac{16}{a}\geq 12$ jest prawdziwa dla każdego $a>0$, ponieważ $a^3-12a+16=(a-2)^2(a+4)\geq 0$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ponieważ $a>0$, sprowadzamy lewą i prawą stronę do wspólnego mianownika $a$:

   $$\begin{aligned}a^2+\dfrac{16}{a} &\geq12 \\[8pt] \dfrac{a^3}{a}+\dfrac{16}{a}-\dfrac{12a}{a} &\geq0 \\[8pt] \dfrac{a^3-12a+16}{a} &\geq0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium