# Zadanie 1, matura rozszerzona czerwiec 2023

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec)
- Dział: Logarytmy
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2023/czerwiec/zadanie-01

## Treść

Dane są liczby

$a = 4^{\log_2 45} \qquad \text{oraz} \qquad b = \dfrac{\log_3 2023}{\log_9 2023}$

Oblicz $a-b$.

## Odpowiedź

$a-b=2023$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy $a$, korzystając z tego, że $4=2^2$:

   $$a = 4^{\log_2 45} = \left(2^2\right)^{\log_2 45} = 2^{2\log_2 45} = \left(2^{\log_2 45}\right)^2 = 45^2 = 2025$$

2. Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu $\log_9 2023 = \dfrac{\log_3 2023}{\log_3 9}$ i obliczamy $b$:

   $$b = \dfrac{\log_3 2023}{\log_9 2023} = \dfrac{\log_3 2023}{\dfrac{\log_3 2023}{\log_3 9}} = \log_3 9 = 2$$

3. Obliczamy różnicę:

   $$a-b = 2025-2 = 2023$$