# Zadanie 12, matura rozszerzona maj 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/maj)
- Dział: Równania
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/maj/zadanie-12

## Treść

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

$x^2 - (m+1)x + m = 0$

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunki:

$x_1 \neq 0, \quad x_2 \neq 0 \quad \text{oraz} \quad \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + 2 = \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2}$

## Odpowiedź

$m = -1$ lub $m = \dfrac{1}{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Trójmian $x^2 - (m+1)x + m$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik $\Delta$ jest dodatni. Rozwiązujemy warunek $\Delta > 0$.

   $$\begin{aligned}&(m+1)^2 - 4m > 0 \\[8pt]&m^2 - 2m + 1 > 0 \\[8pt]&(m-1)^2 > 0 \\[8pt]&m \neq 1\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium