# Zadanie 10, matura rozszerzona maj 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/maj)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/maj/zadanie-10

## Treść

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto $a_1 = 675$ i $a_{22} = \dfrac{5}{4}a_{23} + \dfrac{1}{5}a_{21}$.
Ciąg $(b_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(b_n)$. Ponadto $a_3 = b_4$. Oblicz $b_1$.

## Odpowiedź

$b_1 = 129$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Korzystamy z własności ciągu geometrycznego i przekształcamy dany warunek do postaci z ilorazem $q$, dzieląc obie strony przez $a_{21} \neq 0$.

   $$\begin{aligned}&a_{21} \cdot q = \dfrac{5}{4}a_{21} \cdot q^2 + \dfrac{1}{5}a_{21} \\[8pt]&\dfrac{5}{4}q^2 - q + \dfrac{1}{5} = 0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium