# Zadanie 8, matura rozszerzona maj 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/maj/zadanie-08

## Treść

Punkt $P$ jest punktem przecięcia przekątnych trapezu $ABCD$. Długość podstawy $CD$ jest o $2$ mniejsza od długości podstawy $AB$. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $CPD$ jest o $3$ mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie $APB$.

Wykaż, że spełniony jest warunek $|DP|^2 + |CP|^2 - |CD|^2 = \dfrac{4\sqrt{2}}{3} \cdot |DP| \cdot |CP|$.

## Odpowiedź

Warunek $|DP|^2+|CP|^2-|CD|^2=\dfrac{4\sqrt2}{3}\cdot|DP|\cdot|CP|$ jest spełniony (dowód powyżej).

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oznaczmy przez $R_2$ promień okręgu opisanego na trójkącie $CPD$, a przez $\alpha$ miarę kąta ostrego $CPD$. Ponieważ odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe, to $|\angle PCD|=|\angle PAB|$ oraz $|\angle ABP|=|\angle PDC|$ (kąty naprzemianległe), a także $|\angle CPD|=|\angle APB|$ (kąty wierzchołkowe). Na mocy cechy kkk trójkąty $CPD$ i $APB$ są podobne, skąd wynika proporcja:

   $$\dfrac{R_2+3}{|AB|} = \dfrac{R_2}{|CD|}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium