# Zadanie 5, matura rozszerzona maj 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/maj)
- Dział: Granice
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/maj/zadanie-05

## Treść

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ wzorem $a_n = \dfrac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}$, gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Oblicz wartość $p$, dla której granica ciągu $(a_n)$ jest równa $\dfrac{4}{3}$.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

## Odpowiedź

$p = \dfrac{7}{17}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oblicz granicę ciągu, dzieląc licznik i mianownik przez $n^3$ — w granicy zostają tylko wyrazy przy najwyższej potędze.

   $$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \dfrac{7p-1}{p+1}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium