# Zadanie 2, matura rozszerzona maj 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/maj)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/maj/zadanie-02

## Treść

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{x^3-8}{x-2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 2$.
Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu $x = \dfrac{1}{2}$ jest równa

A. $\dfrac{3}{4} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{9}{4} \qquad\qquad$ C. $3 \qquad\qquad$ D. $\dfrac{54}{8}$

## Odpowiedź

C. $3$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Rozłóż licznik jako różnicę sześcianów i skróć ułamek.

   $$f(x) = \dfrac{x^3-8}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = x^2+2x+4$$

2. Oblicz pochodną funkcji.

   $$f'(x) = 2x+2$$

3. Podstaw $x = \dfrac{1}{2}$.

   $$f'\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2\cdot\dfrac{1}{2}+2 = 1+2 = 3$$