# Zadanie 1, matura rozszerzona maj 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/maj)
- Dział: Logarytmy
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/maj/zadanie-01

## Treść

Liczba $\log_3 \sqrt{27} - \log_{27} \sqrt{3}$ jest równa

A. $\dfrac{4}{3} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{1}{2} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{11}{12} \qquad\qquad$ D. $3$

## Odpowiedź

A. $\dfrac{4}{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisz oba logarytmy jako potęgi i skorzystaj ze wzoru na logarytm potęgi.

   $$\begin{aligned}&\log_3 \sqrt{27} = \log_3 27^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}\log_3 27 = \dfrac{1}{2}\cdot 3 = \dfrac{3}{2} \\[8pt] &\log_{27} \sqrt{3} = \log_{27} 3^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}\log_{27} 3 = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\end{aligned}$$

2. Odejmij otrzymane wartości.

   $$\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{6}-\dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$$