# Zadanie 9, matura rozszerzona grudzień 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/grudzien)
- Dział: Równania
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/grudzien/zadanie-09

## Treść

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

$x^2-(m-4)x+m^2-7m+12=0$

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunek

$x_1^3+x_2^3 < 5x_1^2\cdot x_2+5x_1\cdot x_2^2$

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$m \in \left(\dfrac{20}{7}, 4\right)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Trójmian $x^2-(m-4)x+m^2-7m+12$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste tylko wtedy, gdy jego wyróżnik $\Delta$ jest dodatni. Obliczamy $\Delta$:

   $$\begin{aligned}&\Delta = (m-4)^2-4(m^2-7m+12) \\[8pt] &\Delta = -3m^2+20m-32\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium