# Zadanie 7, matura rozszerzona grudzień 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/grudzien)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/grudzien/zadanie-07

## Treść

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej $480$ litrów i nie może przekroczyć $530$ litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji $(480+x)$ litrów dziennie przeciętny koszt $K$ (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy

$K(x) = \dfrac{22x^2-621{,}5x+23\,430}{480+x}$, gdzie $x \in [0, 50]$.

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$495$ litrów, $K = 38{,}50$ zł

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyznaczamy pochodną funkcji $K(x) = \dfrac{22x^2-621{,}5x+23\,430}{480+x}$, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu:

   $$K'(x) = \dfrac{(44x-621{,}5)(480+x) - 1\cdot(22x^2-621{,}5x+23\,430)}{(480+x)^2}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium