# Zadanie 5, matura rozszerzona grudzień 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/grudzien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/grudzien/zadanie-05

## Treść

Rozwiąż równanie

$6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x + 3\operatorname{tg}x + \sqrt{3} = 0$

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi \ \lor\ x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi \ \lor\ x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Lewa strona równania ma sens liczbowy dla $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ (dziedzina tangensa). Zapisujemy $\sin x = \operatorname{tg}x\cdot\cos x$ i przekształcamy lewą stronę równania do postaci iloczynu:

   $$\begin{aligned}&6\operatorname{tg}x\cdot\cos x+2\sqrt3\cos x+3\operatorname{tg}x+\sqrt3=0 \\[8pt] &2\cos x(3\operatorname{tg}x+\sqrt3)+(3\operatorname{tg}x+\sqrt3)=0 \\[8pt] &(3\operatorname{tg}x+\sqrt3)(2\cos x+1)=0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium