# Zadanie 3, matura rozszerzona grudzień 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/grudzien)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/grudzien/zadanie-03

## Treść

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ oraz dla każdej liczby rzeczywistej $y$, spełniających warunek $x + y \geq 1$, prawdziwa jest nierówność

$x^3+2xy+y^3 \geq x^2+xy(x+y)+y^2$

## Odpowiedź

$x^3+2xy+y^3 \geq x^2+xy(x+y)+y^2$ dla $x+y\geq1$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekształcamy nierówność $x^3+2xy+y^3 \geq x^2+xy(x+y)+y^2$ w sposób równoważny, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę:

   $$x^3+y^3-xy(x+y)-x^2+2xy-y^2 \geq 0$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium