# Zadanie 1, matura rozszerzona grudzień 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona grudzień 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/grudzien)
- Dział: Logarytmy
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/grudzien/zadanie-01

## Treść

Oblicz

$\dfrac{\log_3 5 \cdot \log_{25} 27}{\log_7 \sqrt[6]{49}}$

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$\dfrac{9}{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu do $\log_{25}27$, zapisując go przy podstawie $3$:

   $$\log_{25}27 = \dfrac{\log_3 27}{\log_3 25} = \dfrac{\log_3 27}{\log_3 5^2} = \dfrac{\log_3 27}{2\log_3 5}$$

2. Mnożymy przez $\log_3 5$, dzięki czemu upraszcza się licznik całego wyrażenia:

   $$\log_3 5 \cdot \log_{25}27 = \log_3 5 \cdot \dfrac{\log_3 27}{2\log_3 5} = \dfrac{\log_3 27}{2}$$

3. Przekształcamy mianownik, korzystając z definicji pierwiastka oraz wzoru na logarytm potęgi:

   $$\log_7 \sqrt[6]{49} = \log_7 \left(7^2\right)^{\frac{1}{6}} = \log_7 7^{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{3}\log_7 7 = \dfrac{1}{3}$$

4. Obliczamy wartość wyrażenia, korzystając z definicji logarytmu ($\log_3 27 = 3$):

   $$\dfrac{\log_3 5 \cdot \log_{25}27}{\log_7 \sqrt[6]{49}} = \dfrac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{3}{2}\cdot 3 = \dfrac{9}{2}$$