# Zadanie 15.3, matura rozszerzona czerwiec 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec/zadanie-15-3

## Treść

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne $ABC$ ($|AC|=|BC|$), na których opisano okrąg o promieniu $R=1$. Niech $x$ oznacza odległość środka okręgu od podstawy $AB$ trójkąta. Pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $x$, wyraża się wzorem $P(x) = (x+1)\cdot\sqrt{1-x^2}$ dla $x \in (0, 1)$.

Oblicz długość odcinka $x$ tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

## Odpowiedź

$x = \dfrac{1}{2}$, największe pole $P = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Czynnik $x+1$ jest dodatni, więc wciągamy go pod pierwiastek. Pierwiastek jest funkcją rosnącą, więc $P$ przyjmuje największą wartość tam, gdzie wyrażenie pod pierwiastkiem. Oznaczamy je przez $f$ i wymnażamy nawiasy.

   $$\begin{aligned}&P(x) = \sqrt{(x+1)^2(1-x^2)} \\[8pt] &f(x) = (x^2+2x+1)(1-x^2) = -x^4-2x^3+2x+1\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium